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理论和生活的结合

有人觉得一辈子工作生活中也用不到统计概率,由此抱怨很多学校里的学习不实用,但其实它是无处不在的。 举个例子说,部分中国人有钱了,全世界范围内都有“扫货团”,尤其是抢购奢侈品,当地老百姓觉得中国人都有钱了。但是问一个普通的中国百姓,他很可能不是这么认为的。 why? 因为他们无意中犯了一个统计上的错误—-样本错了。 能到国外扫货的,都是有点经济实力的,但从整个中国总体来说,这是一小撮人,一个小样本,不能代表整个中国的平均水平。

用概率来描述就是 P(B|A) 和 P(B)的关系,其中A代表“出国扫货”, 全集{A, ~A}(出国扫货,不出国扫货); B代表“有钱”,全集{B, ~B} (有钱,一般)。 “出国扫货”的一个人,有钱的概率要高于随机一个人有钱的概率吧。

我们可以再量化一下来证明。通过贝叶斯公式:  P(B|A) = P(A|B) P(B)/P(A), 变化一下, P(B|A)/P(B) = P(A|B)/P(A), 用全概率公式展开,P(A|B)/P(A) = P(A|B) / (P(A|B)P(B) + P(A|~B)P(~B)) = W。

这里,需要先假设P(A|B) > P(A|~B), 逻辑上解释就是有钱的主出国扫货的概率高于没钱的主出来扫货的概率。 用P(A|B)替换P(A|~B), 就有W > P(A|B) / (P(A|B)P(B) + P(A|B)P(~B)) = P(A|B)/[P(A|B)(P(B)+P(~B))] = 1。最终我们可以看到,P(A|B)/P(A) >1。由此从数学上证明了P(A|B) > P(A)。 我们可以看到,如果有钱的主儿出国扫货的概率高于没钱的主儿出国扫货,那么出来扫货的主儿里面有钱的概率要高于任意人有钱的概率。这个模型很清楚地解释了人们主观印象的错误其实是把条件概率和先验概率混淆了。

同样的例子也可以用很多人深恶痛绝的GRE考试来诠释出题人的思路。GRE里面有无数晦涩难懂的单词,经常出现绵延整个段落的n重复合句,看得你不得不惊叹文章对读者肺活量的要求,是无数北美研究生院申请人的梦魇。往往一边在做题,一边在问候出题人的先辈。不过不得不承认,在此过程中会学到很多词根,由此了解一些西方历史文化上的典故。而且,GRE单词在北美普通报章杂志上也是经常可以看到的。当年GRE有逻辑部分,里面很多题目都是一段陈述,然后问你有什么逻辑问题。如果沿用上文提到的例子,题目可能就是:

中国扫货团在全球抢购奢侈品,小明评论说是证明了中国人很富裕。你觉得:

A:人民币汇率过低, 国外奢侈品便宜

B:小明做了一个很强的假设:到国外旅行的中国人和全中国普通人富裕水平相当

C:  中国关税、消费税过高

D:  全球的需求疲软,中国的产能不足

E:  中国人喜欢炫富

按照GRE逻辑考试的思路,答案应该是B。好玩吧。其他看着也对,但不是从题目可以得出来的。 这就不是逻辑了,而是主观臆断。通过已经掌握的条件,逻辑推导得出的结论才是科学的。这个就是现代科学研究的精髓,也是GRE逻辑考试所要考察的对象。

所以,别抱怨,让你学总是有道理的, 就看怎么理解了。

仅以此文献给曾经(或者正在)为了学习那些不得不学的东西而备受煎熬的各位同学们。

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分类:杂记
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